СИМЕТРІЯ ТА ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ В МАТЕМАТИЦІ

Автор: А. В. Кожухарів

"Вивчення археологічних пам'яток показує, що людство на зорі своєї культури вже мало уявлення про симетрію і здійснювало її в малюнках  і в предметах побуту. Треба думати, що застосування симетрії в первісному виробництві визначається не тільки естетичними мотивами, але до певної міри і впевненістю людини в більшій придатності для практики правильних форм ".

Це слова іншогонашогочудовогоспіввітчизника, якийприсвятиввивченню симетрії все своєдовгежиття, академіка А. В. Шубнікова (1887-1970). ГерманВейль стверджував, що «симетрія… є ідея, за допомогою якої людина століттями намагалась пояснити та створити порядок, красу і довершеність.»
У давнину слово «симетрія» вживалось у значенні «гармонія» та «краса». У«Сучасному словнику іншомовних слів»  під симетрією розуміється «співмірність, повна відповідність в розташуванні частин цілого щодо середньої лінії, центру ... таке розташування точок щодо точки (центру симетрії), прямої (осі симетрії) або площини (площини симетрії), при якому кожні дві відповідні точки, що лежать на одній прямій, що проходить через центр симетрії, на одному перпендикулярі до осі чи площини симетрії, знаходяться від них на однаковій відстані ...»

Значень услова «симетрія» існує безліч. У тому-то й полягаєперевагаподібнихвиразів, щоїхможнавикористовувати у випадку, коли не хочутьдатиоднозначневизначенняабо просто не знаютьчіткоївідмінностіміждвомапредметами.

 Симетрія (від грецького symmetria) – сумірність, правильне відношення, однаковість у розміщенні частин. В широкому сенсі – інваріантність (незмінність) структури, властивостей, форми (напрям в геометрії, кристалографії) матеріального об’єкта щодо його перетворень (тобто змін ряду фізичних властивостей).

У “Короткому Оксфордському словнику” симетрія визначається як “краса, обумовлена ​​пропорційністю частин тіла або будь-якого цілого, рівновагою, подобою, гармонією, узгодженістю”

Термін «співрозмірний» ми застосовуємо по відношенню до людини, картини абоякого-небудь предмету, коли дрібніневідповідності не дозволяютьвжитислово «симетрична».

Симетрія поділяється на геометричну  та фізичну. Симетрія, яку ми бачимо візуально – називається геометричною, а ту, яку спостерігаємо у фізичних законах та законах природи – фізичною.

У  курсі геометрії  вивчаються такі види симетрії:

1.Симетрія відносно точки (центральна симетрія).

2.Симетрія відносно прямої (осьова симетрія ) .                                                                                                        

3.Симетрія відносно площини ( дзеркальна симетрія).

4.Поворотна симетрія (симетрія обертання ń-го порядку).

5.Переносна симетрія.

6. Гвинтова симетрія.

Нагадаємо, як визначаються ці види симетрії в геометрії.

Центральна симетрія.

Дві точки Х та Х1 площини називаються симетричними відносно точки О, якщо О є серединою відрізка ХХ1. Перетворення, при якому кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1, симетричну відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О. При цьому фігури FтаF1 називаються симетричними відносно точки О. Симетрію з центром О називають центральною симетрією.

Фігури, що мають центр симетрії, часто зустрічаються в довкіллі. Наприклад, пропелер літака, елементи українського орнаменту, сніжинка.

Осьова симетрія.

Дві точки Х та Х1 площини називають симетричними відносно прямої  а, якщо ця пряма перпендикулярна до відрізка ХХ1 і проходить через його середину.

Перетворення, при якому кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1,симетричну відносно  даної прямої а, називається перетворенням  симетрії відносно прямої а. При цьому фігури F та  F1   називаються симетричними відносно прямої  а . Пряма а  називається віссю симетрії. Симетрію з віссю  а називають також осьовою симетрією.

Якщо перетворення симетрії відносно прямої апереводить фігуру  Fв себе, то ця фігура називається симетричною відносно прямої а , а прямаа  - віссю симетрії фігури.

 Фігури, що мають вісь симетрії, часто трапляються в техніці, архітектурі, природі, побуті.

Дзеркальна симетрія. 
Вид симетрії, що найчастіше спостерігається в природі й у створених людиною речах, – так звана дзеркальна симетрія (симетрія відносно площини). Вона ґрунтується на рівності двох частин фігури, розташованих одна відносно іншої, як предмет і його відображення в дзеркалі. Уявна площина,яка ділить таку фігуру навпіл, називається площиною симетрії. Багато архітектурних споруд, наприклад, храми або собори, мають дзеркальну симетрію. Площина симетрії у архітектурних спорудах, як правило, є вертикальною.

Поворотна симетрія.

Якщо фігура F у наслідок повороту навколо деякої точки О на кут  (ń- натуральне число) переходить у себе, то кажуть, щоця фігура має симетрію обертання  ń-го порядку. Точка О називається центром обертанняń-го порядку. Отже, рівносторонній трикутник, квадрат, правильний шестикутник, правильний ń-кутник мають симетрію обертання 3, 4, 6, ń –го            порядку. Бо правильний трикутник переходить у себе при повороті на 120º (тобто   ) навколо його центра О. О- точка перетину медіан трикутника. Квадрат переходить у себе при повороті на кут  навколо його центра, правильний шестикутник - при повороті на кут   навколо його центра.

Переносна симетрія.

Переносна симетрія характеризується перетворенням , при якому всі точки фігури зміщуються в одному й тому самому напрямі і на одну й ту саму відстань унаслідок паралельного перенесення. Так паралельне перенесення малюнків на вишивках, шпалерах, тканинах,орнаментах дає уяву про переносну симетрію.

Гвинтова симетрія.

Гвинтова симетрія виходить в результаті гвинтового руху точки або фігури навколо нерухомої осі. Гвинтові симетрії зазвичай зустрічаються в елементах верстатів, літаків, різних машин.

В сучасних умовах поряд із симетрією особливе значення набуває поняття асиметрії. Вона дозволяє органічно пов'язувати окремі елементи поміж собою, поєднуючи їх в цілісні, гармонійно-функціональні об`єкти. Симетрична побудова не завжди узгоджується з суперечливими вимогами при компоновці того чи іншого об`єкту, приладу, споруди.

Золотий переріз у математиці.

Знайомство з прекрасним не можливе без розгляду поняття золотого перерізу. Пропорція золотого перерізу при цьому розглядається як міра досконалості та краси.«У геометрії є два скарби - теорема Піфагора і поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні. Перше можна порівняти з цінністю золота, друге можна назвати коштовним каменем ». Ці слова сказав чотири століття тому німецький астроном і математик Йоганн Кеплер, вони є епіграфом практично до всіх праць, присвячених «золотому перерізу». Геніальний вчений поставив пропорцію «золотого перетину» на один рівень з самою знаменитою в геометрії теоремою Піфагора.

Однак «золотому  перерізу» пощастило менше, ніж теоремі Піфагора - «класична» наука та педагогіка його ігнорують, а «офіційна» математика не визнає.

Мета даної роботи провести короткий огляд історії та математичної сутності золотого перерізу, і спробувати осмислити його роль в сучасній математиці.

Перші згадки про золотий переріз зустрічаються у  другій  книзі «Начал» Евкліда (ІІІ ст.. до н.е.). Тим часом  відкриття золотого перерізу пов`язують з ім`ям Піфагора. Символ його школи - зірчастий многокутник  побудований із дотриманням відношень золотого перерізу. Через 100 років після Евкліда золотий переріз вивчає геометр Гипсикл, а ще через 500років математик Папп. У епоху середньовіччя про золотий переріз не згадується. На початку ХІІІ ст. опосередковано з цим поняттям пов`язано ім`я італійськогоматематика монаха Леонардо, більше відомого під ім`ям Фібоначчі. У відомій послідовності чисел ряду Фібоначчі кожен її член, починаючи з третього, дорівнює  сумі двох попередніх членів. Відношення суміжних чисел ряду наближується до золотої пропорції. І тільки в епоху Відродження до золотого перерізу знов проявляють інтерес художники та мислителі. Вони з`ясували, що будь – яка картина має особливі точки, які притягують до себе увагу, так  звані зорові центри.  Вони розташовані на відстані 3/8 та 5/8 від відповідних меж картини. Це відкриття художників отримало назву «золотий переріз» картини. Відомий італійський художник Леонардо де Вінчевикористовував золотий переріз у своїх роботах.

У  ХV столітті італійський математик Лука  Пачолі  прагнув показати, що золота пропорція є основою всіх наук. Він вивів за допомогою золотої пропорції принципи архітектури, пропорції  досконалого людського тіла, написання літер алфавіту.

У Німеччині над вивченням золотого перерізу працювавАльбрехтДюрер (1471-1528). Він  детально розробив теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце в системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук. Аналогічні пропорції зберігаються і щодо інших частин тіла. .

          У подальші століття правило золотої пропорції перетворилось на академічний канон. У 1855 році німецький дослідник професор Цвейг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». Він абсолютизував пропорцію золотого перерізу, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи та мистецтва.

Минуло вже багато часу з моменту відкриття золотої пропорції ,але й зараз ми вважаємо її еталоном гармонії та краси.

Суть золотого перерізу в тому, що відрізок поділяється внутрішньою точкою на такі дві частини, що відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню  цієї більшої частини відрізка до його меншої частини.

Якщо весь відрізок прийняти за 1, а більшу його частину позначити Х, то менша частина відрізка буде дорівнювати (1-Х). За відношенням золотого перерізу 1: Х = Х: (1-Х), звідси   = 1-Х. Рівняння   +Х -1 = 0 має додатній корінь Х=  =0,618…

Відношення золотого перерізу  1/Х = 1,618… зазвичай позначають грецькою літерою φ.Так у науці  вшановують пам`ять  давньогрецького  скульптора  Фідія , який використовував золотий переріз у своїх творіннях.Відношення золотого перерізу називають ще формулою краси.

Викладене вище свідчить про те, що математична розробка теорії пропорцій внесла в науку позитивний вклад, однак, математична точність ще сама по собі не визначає пропорційності і гармонії при створенні будь-якого предмету. Математичний метод дає лише кількісне поняття і знання існуючих пропорційних закономірностей, але не дає якісної сторони, тобто краси.

 Німецький фізик і психолог Густав Фехнер дослідив, що людині подобаються більше ті об'єкти, пропорції яких знаходяться у відношенні золотого перерізу. Виявляється,щокривизниакомодулюючого кришталика нашого ока відносяться як 3:5, що відповідає золотому перерізу. Тому нам більше подобаються і здаються прекрасними ті речі які відповідають золотому перерізу.