СИМЕТРІЯ В МАТЕМАТИЦІ. ЧАСТИНА 1: ЩО ТАКЕ СИМЕТРІЯ?

01.05.2015 20:51

Автор https://www.mmf.lnu.edu.ua/index.php/dpmsaa/item/728-140728.html

Тигр, о тигр, який горить світло
У глибині опівнічної хащі,
Ким задуманий вогневий
Співмірний образ твій?
      Вільям Блейк (1757-1827)

Рядки епіграфа є невід'ємною частиною англомовної культури. «Співмірний образ», а дослівно - «страшна симетрія», про яку йдеться у вірші, стає очевидною, коли ми дивимося тигру прямо в очі, хоча ніхто з тих, кому довелося зустрітися з цією твариною в дикій природі один на один, не думав у цей момент про симетрію. Проте тигр володіє симетрією, яку нескладно описати. Але що ми називаємо симетрією?

Наприклад, рівносторонній трикутник має групу симетрії порядку 6, тобто містить шість елементів. Простий зірчастий многогранник може мати групу симетрії порядку декількох десятків або сотень, тобто налічує десятки і сотні елементів. Звичайне, нічим не примітне коло має ще більше симетрій - нескінченно багато. Однак є і трикутні симетричні об'єкти, які «менш симетричні». У центрі герба острова Мен, датованого 1266 роком, зображений трискеліон (триножник), група симетрії якого містить всього три елементи. Група симетрії трикутника є скінченною діедричною групою, що включає повороти і різні типи осьової симетрії. Група симетрії трискеліона також скінченна, але при цьому відноситься до так званих циклічних груп і не містить осьової симетрії. Крім того, вона ізоморфна деякій підгрупі групи симетрій. Група симетрії трискеліона також ізоморфна нормальній підгрупі групи, яка складається з цифр на циферблаті годинника. Ця група з 12 елементів, як усім відомо, є циклічною і абелевою.

Але чи справді це відомо всім? Майже все вище сказане порівняно просте, і розібратися в ньому можна всього за кілька годин, проте багато людей не знайомі з цією областю математики. Щоб вивчати симетрію навколишнього світу, потрібно володіти деякими простими математичними поняттями, зокрема поняттям групи. Цікаво, що спочатку воно зовсім не призначалося для вивчення симетрії фізичного світу. Поняття групи, яке було задумано ще Лагранжем і пізніше отримало поширення зусиллями Галуа, було створено для вирішення алгебраїчних рівнянь і не мало геометричного сенсу. Теорія груп досить складна, і її не можна зрозуміти, прочитавши одну науково-популярну книгу, але вона разюче красива.

Згадаємо, що Галуа загинув у 21 рік на дуелі, викликаної політичними і любовними інтригами. Поспішаючи, незадовго до смерті він записав свої теорії, щоб пізніше хтось із відомих математиків розповів про них світу (так і сталося через десяток років). Історія Галуа більше підходить для пригодницького роману, ніж для книги з алгебри, так само як і суперечка Тартальї та Кардано про рівняння. А що ви скажете про найдовшу з відомих теорем - теорему про класифікації так званих простих груп? Вона настільки об'ємна, що ніхто ще не зміг прочитати її до кінця.

Парадоксально, що ми майже не замислюємося про явище, яке ховається за словами «по той бік дзеркала» і було описано Льюїсом Керролом в книзі «Аліса в Задзеркаллі». Саме дзеркальною симетрією обмежується інтерес більшості людей, широкої публіки, до симетрії. Так, симетричні туфлі, котрі відрізняються між собою, але належать до однієї пари (тобто, як сказав би фахівець, є енантіоморфними), паліндроми (слова і фрази, які читаються однаково зліва направо і справа наліво), лівосторонні білки, які є основою життя, і навіть оборотні фізичні закони, однак осьова симетрія є лише елементарним окремим випадком справжньої симетрії. Про це написано безліч книг. Своєї черги чекають багато інших типів симетрії і груп. Спробуємо ж привідкрити двері в царство симетрії.

 

Що таке симетрія

Скажіть, чому симетрія
така важлива?
     Мао Цзедун - фізику Т. Лі, березень 1974

У математиці поняття «симетрія» означає не зовсім те, що в інших науках або в повсякденному житті. Математики відносяться до всього дуже строго, можна сказати, педантично, і розуміють під симетрією щось дуже конкретне і чітко визначене. Для них все, що не вкладається в це визначення, не є симетричним в строгому сенсі слова. Є навіть жарт, що висміює нетерпимість математиків до щонайменших неточностей. Астроном, інженер і математик їдуть у поїзді по Карпатах. Поглянувши у вікно, астроном побачив на полонині чорну вівцю. Зробивши, можливо, дещо поспішний висновок, він сказав попутникам: «Як цікаво! У Карпатах всі вівці чорні ». Інженер м'яко виправив його: «Ну що ви. Лише деякі вівці чорні ». Математик поставив крапку в суперечці: «Панове, в дійсності в Карпатах існує як мінімум одна полонина, що містить як мінімум одну вівцю, хоча б одна з двох сторін якої є чорною». Математики використовують схожий підхід, коли справа стосується симетрії.

 

Поняття симетрії

Обмежимося не настільки чітким, строгим і абстрактним визначенням і будемо розглядати симетрію в контексті оточуючого нас світу, який, як ми будемо припускати, описується законами евклідової геометрії.

Розпочнемо з предметів: назвемо симетричним будь-який предмет, який буде збігатися сам з собою при «нормальному» русі без деформацій. Іншими словами, ми обмежимося симетрією, яка зберігає відстані між точками предмета незмінними. Для поінформованого читача, знайомого з деякими поняттями математики більш високого рівня, вкажемо, що ми будемо розглядати ізометрію (від давньогрецького isos - «рівний» і metros - «розмір»).

Розглянемо спочатку одновимірні об'єкти. Наприклад, побудова відрізка, симетричного заданому, є тривіальною справою:Однак існує єдиний спосіб перемістити симетричний відрізок так, щоб він збігся з вихідним. Якщо поміняти його кінці місцями, що в нашому тривимірному просторі рівносильно повороту на 180° з центром у середині відрізка, то відрізок залишиться незмінним. Це означає, що якби поруч з відрізком були зображені букви, то отриманий в результаті повороту відрізок нічим би не відрізнявся від початкового. Математик сказав би, що існують два рухи, при яких відрізок залишається незмінним: вже згадуваний поворот на 180° і поворот на 360°. Останній ідентичний відсутності руху (0°), повороту на 720° (на два повороти), 1080° (три повороти) і т.д.

В алгебрі говорять, що відрізок симетричний, а його група симетрії містить тотожне перетворення (еквівалентне 0°=0 радіан, 360°=2π радіан, 720°=4π радіан і т.д.) і поворот на 180° (180°= π радіан, 540°=3π радіан, 900°=5π радіан і т.д.). Зауважимо, що градусам поставлено у відповідність радіани: це важливіше, ніж здається на перший погляд, тому що з моменту появи аналізу нескінченно малих, тобто вже більше 300 років, кути вимірюються в радіанах.

Здається, що в одновимірному просторі все досить просто. Однак якщо подумати, то ми знайдемо одновимірну фігуру, що має більше типів симетрії. Може здатися, що це не так, однак пряма

має більше типів симетрії, ніж відрізок: при будь-якому перенесення вліво або вправо на будь-яку відстань пряма залишається незмінною. Для прямої існує нескінченна кількість переносів, які повністю задовольняють нашим визначенням симетрії. Іншими словами, якщо ми відзначимо на прямій якусь точку (початок відліку) і будемо позначати точки прямої дійсними числами, R, то перенесення tякий співвідносить з кожною точкою х точку х+t, буде симетрією прямої А, так як вона буде зміщуватися вздовж себе самої, і всі її точки будуть зміщуватися на одну і ту ж відстань t (не вдаючись у подробиці, скажемо, що на множині дійсних чисел R існують і інші види симетрії).

Далі, коли читач дізнається про симетрію трохи більше, він побачить, що цей перенесення є елементом групи Лі GL (1,R), але не будемо забігати вперед.

 

Новий вимір

Зробимо ще один крок і перейдемо до двовимірних фігур. Існує кілька прикладів симетричних рухів на площині, що зберігають відстані, як можна бачити на наступних малюнках.

Застосуємо ці види симетрії до найпростішої фігури - трикутника з верші нами а, Ь і с. Будемо розглядати рівносторонній трикутник і його центральну точку, яка, як відомо з курсу середньої школи, є його центром ваги і центром вписаного і описаного кіл.

Якщо ми повернемо трикутник на 2π/3 (або 1/3 · 2π) радіан (тобто на 120°, або на 1/3 повного повороту) щодо центру

або повернемо його на 4π/3 (або 2/3 · 2π) радіан (240°, або 2/3 повороту),

він не зміниться. Що ж трапиться при повороті на 2π радіан (тобто на 360°)?

Ми повернемося до того ж, з чого почали: трикутник не тільки залишиться незмінним, але і його вершини будуть розташовуватися на вихідних місцях. Поворот на 2π радіан (або на 4π, 6π, 8π і т.д.) ідентичний тотожному перетворенню, відсутності руху. Таким чином, трикутник має три типи симетрії, які представляють собою поворот на 0, 2π/3 і 4π/3 радіан. Позначимо їх g₀ , g₁ і g₂.

Якщо тепер замість того щоб обертати трикутник, ми відобразимо його відносно осі, що проходить через точку a, Ь або с,

ми отримаємо ще три типи симетрії, при яких трикутник також залишається незмінним. Ці симетрії, крім того, що відрізняються від поворотів, описаних вище, також володіють особливою властивістю (мовою математики воно називається крученням). Осі симетрії подібні дзеркалам - трикутник відображається в них і змінює орієнтацію. Ці види симетрії, залежні від вибору осі симетрії, ми будемо позначати e₁ , e₂ , e₃.

Таким чином, ми отримали шість типів симетрії для рівностороннього трикутника: g₀ , g₁ , g₂ , e₁ , e₂ , e₃ - три обертання і три осьові симетрії. Використовуючи сучасні позначення теорії множин, можна сказати, що множина

D₃={ g₀ , g₁ , g₂ , e₁ , e₂ , e₃ }

є множиною симетрії рівностороннього трикутника (далі ми пояснимо, чому ця множина позначається саме так).

Якщо ми застосуємо до трикутника будь-які два рухи з цих шести (позначимо їх m_i і m_j ), результуючим буде новий рух m_k , який також буде належати D₃ .

У виразі

m_i • m_j = m_k

знак • вказує, що спочатку ми застосовуємо до трикутника рух m_i , потім m_j і результатом є рух m_k. Фахівці записують саме в такому вигляді, який, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Проте тут немає ніякої помилки - такий запис продиктований міркуваннями зручності, що стає очевидним у більш складних випадках. Так, наприклад, якщо ми спочатку виконаємо e₃, а потім g₁, це буде записуватися так:

e₃ • g₁ = e₂

Математики висловлюють все вищесказане кількома словами, кажучи, що • є операцією в D₃. Часто кажуть, що D₃ є замкнутою множиною щодо операції •, що означає те ж саме.

Якщо ми запишемо рухи D₃ у вигляді таблиці, так що в рядку n і стовпці р буде записаний результат m_n • m_p , отримаємо таку таблицю:Ми позначаємо обертання починаючи з індексу 0, так як g₀ є особливим випадком руху трикутника. Розглянемо, чому це так. Для будь-якої симетрії, або руху m будь-якого рівностороннього трикутника, правильна рівність

m • g₀ = g₀ • m = m .

Рух g₀ є ніби нейтральним і не змінює результат, в якому б порядку ми його не застосовували. По суті, цей рух дійсно  є нейтральним. У цьому можна переконатися, поглянувши на таблицю: рядки і стовпці, що відповідають g₀, залишаються незмінними. Елемент, що володіє подібними властивостями щодо деякої операції, називається нейтральним елементом.

Приклад нейтрального елемента можна зустріти в елементарній арифметиці: для операції додавання при будь-якому mправильна рівність

m + 0 = 0 + m =m ,

тобто 0 є нейтральним елементом для операції + . Аналогічно при множенні 

m · 1 = 1 · m =m ,

і 1 є нейтральним елементом щодо операції множення.

Повернемося трохи назад і позначимо рух g₀ як n (перша літера слова «нейтральний» на латині). Тоді таблиця для операції • буде виглядати так:

Ця таблиця відповідає множині симетрії D₃ рівностороннього трикутника. Що ж буде у випадку квадрата, який очевидно «більш симетричний», ніж трикутник? Дійсно, квадрат володіє вісьмома типами елементарної симетрії, як показано на наступних малюнках.

Чотири з них володіють крученням, тобто якби на нашому квадраті був написаний текст, його напрямок змінилося б на протилежний.

Поштова марка є прекрасним прикладом, на якому можна продемонструвати найпростіші види симетрії квадрата.

У цьому випадку також можна використовувати операцію • і отримати таку таблицю:

Множину симетрії квадрата будемо позначати D₄ . Від уважного погляду фахівця не вислизне той факт, що не тільки симетрія утворює замкнуту множину рухів. Окремі частини, або підмножини, таблиць також є замкнутими: зверніть увагу на комірки таблиці, виділені жирним шрифтом.

Розглянемо симетрію правильного опуклого многокутника, число сторін якого дорівнює ρ. Саме він зображений нижче при ρ =17.

Його множина симетрії складається з ρ поворотів на 2π/ρ радіан (360°/ρ) і ρ типів осьової симетрії: ρ/2 осей проходять через центр і вершини многокутника, решта ρ/2 осей проходять через його центр і середини сторін. Ця множина містить всього 2ρелементів: ρ поворотів і ρ типів осьової симетрії.

Позначивши повороти буквою g (за винятком повороту на 0°, який як раніше будемо позначати n), осьові симетрії - буквою е, отримаємо безліч з 2ρ елементів, яке позначимо D_ρ:

D_ρ = { n , g₁ , ... , g_ρ-1 , е₁ , ... , е_ρ } .

Ми не можемо скласти відповідну таблицю, оскільки точне значення ρ невідоме. Проте в  цій таблиці можна виділити як мінімум одну замкнуту множину стосовно операції • (насправді їх набагато більше): 

У природі існує безліч явищ, пов'язаних з правильними многокутниками і діедричними групами. Один з найбільш відомих прикладів - сніжинка, яка описується групою симетрії D₆ .

Фотографія сніжинки, зроблена Вілсоном Бентлі на початку ХХ століття. 
Сніжинки мають форму шестикутника і описуються групою симетрії D₆