Симетрія в математиці. Частина 2. Проміжна абстракція
Автор https://www.mmf.lnu.edu.ua/index.php/dpmsaa/item/857-140728.html
Ми могли б продовжити аналізувати різні множини симетрії (надалі ми вчинимо саме так), але слід ненадовго зупинитися і внести деяку ясність. Ми немов би піднімемося вгору і розглянемо тему з висоти - так ми зможемо краще зрозуміти її, зв'язати все в єдине ціле і наділити сенсом. Саме так зазвичай роблять, коли з вихідними даними складно працювати і за деревами не видно лісу. Ми втратимо якийсь час на те, щоб переосмислити дані, але в результаті сформулюємо абстракцію, яка допоможе нам краще їх зрозуміти, і наша праця не пропаде даром.
Перейдемо до абстракцій. Що можуть виділити математики з усього, що було сказано вище? Чи існує загальний спосіб, який дозволяє описати все вищесказане більш стисло і зрозуміліше?
Кажуть, що на множині G задана операція ○, коли для двох будь-яких її елементів a та b завжди можна знайти такий третій елемент c, що:
a ○ Ь = c.
Отже, c теж належить G. В теорії множин це записується так: c ∈ G. Операція ○ є внутрішньою для множини G - її результат ніколи не виходить за межі G.
Кажуть, що G є групою, якщо виконуються такі три умови.
1. На множині G існує такий елемент n (він називається нейтральним елементом), що для будь-якого g ∈ G виконується рівність
g ○ n = n ○ g = g.
2. Для будь-якого g ∈ G існує обернений елемент, який ми будемо позначати g-1, тобто такий елемент, що
g ○ g-1 = g-1 ○ g = n.
3. Для будь-яких елементів G, наприклад a, b, c ∈ G, операція ○ володіє асоціативністю
(а ○ Ь) ○ с = а ○ (Ь ○ с).
Усі розглянуті множини симетрії задовольняють цим трьом умовам. Таким чином, можна говорити про групу симетрії відрізка (з двома елементами), групу симетрії рівностороннього трикутника (шість елементів), групу симетрії квадрата (з вісьмома елементами) і групу симетрії правильного п-кутника (2n елементів). Число елементів групи G, яке зазвичай позначається як|G|, називається порядком групи.
Групи зі скінченним числом елементів називають скінченними групами, групи з нескінченним числом елементів -нескінченними. Множина переносів прямої А є нескінченною групою. Множина цілих чисел
{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
з визначеною на ній операцією + також є нескінченною групою. Нейтральним елементом для цієї операції є 0, елементом, оберненим до цілого числа p, є ціле число -p. У випадку з операцією додавання оборотний елемент зазвичай називаютьпротилежним:
p + (-p) = (-p) + p = 0
(ми записуємо в більш звичному вигляді:
p-p=-p+p=0.
Множина ненульових дійсних чисел з операцією множення • також є групою. Оберненим елементом до числа z є число 1/z, а нейтральним - 1:
z • 1/z = 1/z • z = 1.
Підмножина F множини G, F⊂G, яке також є групою стосовно операції • (нехай і меншого порядку), називається підгрупою.
Основною теоремою для скінченних груп є теорема Лагранжа: якщо F є підгрупою G, то порядок F або число елементів F (позначається |F|) є дільником порядку групи G, який, як ми вже говорили, позначається |G|.
Ця теорема, згідно якої підгрупами даної групи G можуть бути тільки ті групи, число елементів |F| яких є дільником |G|, носить ім'я Лагранжа, проте він навів лише її часткове доведення. А остаточно довів цю теорему італійський математик П'єтро Аббаті (1768-1842).
Розглянемо, як приклад, D3 , порядок якої |D3| = 6, так як ця група містить шість елементів. Отже, її підгрупи можуть мати тільки 6, 3, 2 або 1 елемент, оскільки порядок підгрупи повинен бути дільником 6. Далі наведені таблиці для відповідних підгруп:
Перша група збігається з самою групою G, а остання, {n}, містить тільки нейтральний елемент. Решта підгрупи мають порядок 3 (повороти)
{ n, g1, g2 }
і порядок 2
{ n, e1 }, { n, e2 }, { n, e3 }.
Теорема Лагранжа вказує на те, що підгруп, що містять чотири або п'ять елементів, не існує.
Якщо фігура має центр і скінченну групу симетрії, що містить виключно повороти (такі групи називаються циклічними і про них ми поговоримо трохи пізніше) або повороти і симетрії (такі групи називаються діедричними), то ці групи називаютьсяточковими групами симетрії, або групами Леонардо в честь Леонардо да Вінчі, який використовував ці різновиди симетрії при будівництві безлічі церков.
Якщо операція групи володіє комутативністю, тобто для будь-яких a, b ∈ G виконується рівність
а • Ь = Ь • а,
то група називається комутативною. Групи симетрії зазвичай не є комутативними: прикладом цьому може служити група симетрії трикутника, так як
е1 • g2 = е3
g2 • е1 = e2.
Комутативні групи часто ще називають абелевими групами в честь норвежського математика Нільса Абеля (1802-1829), ім'ям якого названа премія Абеля - аналог Нобелівської премії в математиці, що присуджується Норвежською академією наук з 2003 року.
Якщо таблиця групи симетрична щодо головної діагоналі, як показано на наступній ілюстрації, то група є абелевою.
За цим правилом Dn не є комутативною для n> 2. Уважний читач мабуть помітив, що ми не визначили групу D2, яка, як логічно припустити, є групою симетрії багатокутника з двома сторонами. Алгебраїсти з деяких причин позначають D2 групу з подвоєним числом елементів (рівним 2 • 2 = 4), яка складається з поворотів і відображень
{ n, g1, e1 , e2 },
з такою таблицею
Можливими групами з чотирьох елементів є група Клейна D2 і Z4 , якій відповідає така таблиця:
Ця таблиця нагадує схему відліку часу проміжками в чверть години. Тему годин і часу ми розглянемо в наступному розділі.
Група Клейна описує модель двох монет, які можуть лежати однією або іншою стороною вгору. Тут можливі чотири рухи:
n : ми нічого не змінюємо;
g1 : ми одночасно перевертаємо обидві монети;
e1 : ми перевертаємо тільки ліву монету;
e2 : ми перевертаємо тільки праву монету.
Якщо тепер ми розглянемо таблицю для цієї множини рухів, то побачимо, що ця множина є групою і їй відповідає таблиця групи Клейна.
Група Клейна також є групою симетрії довільного прямокутника прямокутника зі сторонами різної довжини. Його симетріями є такі.
1. Два повороти щодо центру: один - на 0 ± 2πn радіан (тотожне перетворення), інший на π ± 2πn радіан, де n - ціле число.
2. Дві осьові симетрії, їх осі проходять через центр паралельно сторонам фігури.
Ця група ізоморфна D2 (поняття ізоморфізму докладно розглянемо пізніше).
При переході від квадрата до прямокутника частина симетрії втрачається. Групою симетрії квадрата є D3, що містить шість елементів, групою симетрії прямокутника - D2, що містить усього чотири елементи.